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Beweis Einer Kontextfreien Sprache

Di: Stella

In diesem Text werden nur allgemeine Eigenschaften von kontextfreien Sprachen besprochen. Die zwei Arten des Parsen, bottom-up mit dem CYK-Algorithmus, und top-down mit Kellerautomaten werden in separaten Texten besprochen. Ein konkreter Parsergenerator f ̈ur kontextfreie Sprachen ist der ANTLR-Parsergenerator, der ebenfalls ist deterministisch kontextfrei in einem separaten Text 6.2 Die Chomsky-Normalform für kontextfreie Grammati ken Sowohl für den Entwurf effizienter Algorithmen für das Wortproblem bei kontext freien Grammatiken als auch für den Beweis eines Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen ist es günstig, kontextfreie Grammatiken in eine Normalform zu bringen.

Vorlesung Formale Sprachen und Berechenbarkeit

Wie sieht es bei den kontextfreien Sprachen aus? Bei kontextfreien Sprachen ergibt sich ein anderes Bild: Satz: Wenn L, L1 und L2 kontextfreie Sprachen sind, dann sind auch die folgenden Sprachen kontextfrei: Aber: Satz: Es gibt kontextfreie Sprachen L, L1 und L2, so dass die folgenden Sprachen nicht kontextfrei sind: Lernziele zum Level der kontextfreien Sprachen Kenntnis der wesentlichen Konzepte und Resultate auf dem Level der (deterministisch) kontextfreien Sprachen besitzen und Zusammenhange verstehen

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Der Schnitt einer kontextfreien Sprachen L mit einer regul ̈aren Sprache L′ ist kontextfrei. Wenn L deterministisch kontextfrei ist, dann ist der Schnitt das auch. Jede von einer kontextfreien Grammatik erzeugte Sprache lässt sich durch einen nicht-deterministischen Kellerautomat überprüfen. Zu jeder von einem nicht-deterministischen Kellerautomat erkannten Sprache gibt es eine kontextfreie Grammatik. Die Frage nach dem „Warum?“ geht auch über den Informatik-LK hinaus und bleibt hier unbeantwortet.

Um die Grenzen dessen auszuloten, was berechnet werden kann, werden wir in diesem Kapitel Entscheidungsprobleme kennenlernen, die nicht von einem Algorithmus gelöst werden können, d.h., die „(algorithmisch) unentscheidbar“ sind. Die Sprache eines Automaten haben wir auf zwei Arten definiert Mithilfe einer verallgemeinerten Übergangsfunktion, die ganze Wörter einliest Durch akzeptierende Läufe, die einem Wort zugeordnet werden können Unentscheidbarkeit bei kontextfreien Sprachen Folgende Probleme sind für kontextfreie Sprachen nicht entscheidbar, d.h. es gibt kein entsprechendes Verfahren (vgl. späteren Abschnitt „Unentscheidbare Probleme“):

Beweis. Für jedes Terminal t ∈ T erzeuge man eine neue Variable Vt. V0 = V ∪{Vt | t ∈ T} R0 entsteht aus R, indem für jede Regel P → Q ∈ R in Q alle Vorkommen eines Terminals t durch die zugehörige Variable Vt ersetzt werden. Außerdem enthält R0 für jedes t Wie sieht es bei den kontextfreien Sprachen aus? Bei kontextfreien Sprachen ergibt sich ein anderes Bild: Satz: Wenn L, L1 und L2 kontextfreie Sprachen sind, dann beschreiben Lemma f ur kontextfreie Sprachen auch die fol-genden Ausdrücke kontextfreie Sprachen: Pumping-Eigenschaft f ̈ur regul ̈are Sprachen, informell: Man kann W ̈orter an einer Stelle aufpumpen und in der Sprache verbleiben (uviw ∈ L f ̈ur alle i ∈ N). Pumping-Lemma f ̈ur regul ̈are Sprachen: Jede regul ̈are Sprache erf ̈ullt die Pumping-Eigenschaft f ̈ur regul ̈are Sprachen. Pumping-Lemma f ̈ur kontextfreie Sprachen: Jede kontextfreie Sprache erf ̈ullt die Pumping

  • Formale Sprachen, Teil 3: Kontextfreie Sprachen
  • Komplement einer nicht kontextfreien Sprache?
  • Deterministische Kellerautomaten

Das Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen Idee: Man versucht auszunutzen, daß eine kontextfreie Sprache von einer Grammatik mit endlich vielen Nichtterminalen erzeugt werden muß. Das bedeutet auch: Wenn ein Ableitungsbaum ausreichend tief ist, so gibt es einen Ast, der ein Nichtterminal mehrfach enthält. Wie sieht es bei den kontextfreien Sprachen aus? Bei kontextfreien Sprachen ergibt sich ein anderes Bild: Satz: Wenn L, L1 und L2 kontextfreie Sprachen sind, dann sind auch die folgenden Sprachen kontextfrei: Aber: Satz: Es gibt kontextfreie Sprachen L, L1 und L2, so dass die folgenden Sprachen nicht kontextfrei sind:

Satz Die von einer kontextfreien Grammatik G erzeugte Sprache ist die Menge der durch Linksableitungen in G erzeugbaren W ̈orter. In diesem Video erklären wir das Pumping Lemma ganz einfach! Du kontextfreie Grammatik erfährst, wie du damit zeigen kannst, ob eine Sprache regulär ist oder nicht. Wir gehen Schritt für Schritt durch ein Beispiel, damit du es leicht nachvollziehen kannst. Viel Spaß beim Lernen!

Im nächsten Kapitel werden wir endliche Automaten um einen unendlichen Spei-cher, den Kellerspeicher, zu Kellerautomaten erweitern, von denen wir drei Varianten betrachten. Wir werden sensitiven Grammatiken erzeugt – wie bei den regulären Sprachen – Äquivalenzen dieser Kon-zepte und ihre Bedeutung für die Klasse der kontextfreien Sprachen untersuchen sowie wesentliche Eigenschaften der

Beweis: Herleitung einer logischen Formel (Konklusion) aus einer Menge von logischen Formeln tA1; :::ANu (Pramissen) mittels einer Reihe logischer Umformungen und Schlussfolgerungen. Bemerkungen: Anfangs ist dies der Fall, da wir von einer separierten kontextfreien Grammatik ohne „{Regeln ausgehen. genden Ausdrücke kontextfreie Sprachen Für Dass die Eigenschaft erhalten bleibt, konnte im Prinzip induktiv gezeigt werden. Abgeschlossenheit gilt nur fur 6 Operationen { Vereinigung zweier kontextfreier Sprachen { Spiegelung einer kontextfreien Sprache { Hulle einer kontextfreien Sprache { Verkettung zweier kontextfreier Sprachen

Der Satz besagt, dass DFAs, NFAs und \ (\lambda\)-NFAs äquivalent sind. Die Familie der regulären Sprachen wird also von jedem dieser drei Modelle erfasst. Auf einen Beweis dieses Satzes wollen wir hier verzichten. Man findet ihn z.B. in dem Buch von Hopcroft, Motwani und Ullman aus der Literaturliste. Reguläre Ausdrücke Wir wollen nun noch einen vierten Es gibt also Sprachen, die nicht mit endlichen Automaten akzeptiert und nicht mit regulären Ausdrücken beschrieben und nicht mit Typ-3-Grammatiken erzeugt werden können. In diesem Kapitel betrachten wir eine, die regulären Sprachen umfassende, Klasse von Sprachen, die kontextfreien Sprachen. Ein Problem ist entscheidbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der die Antwort (Ja oder Nein) für eine gegebene Eingabe in einer endlichen Zeitspanne bestimmen kann. Im Kontext formaler Sprachen und der Automatentheorie stoßen wir häufig auf Fragen zur Entscheidbarkeit verschiedener Eigenschaften von Sprachen und Grammatiken.

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In der Literatur sind weiterhin Pumping-Lemmata für Erweiterungen der kontextfreien Sprachen anzutreffen. Mächtigere Sprachklassen in der Chomsky-Hierarchie wie die kontextsensitiven Sprachen und auch die wachsend kontextsensitiven

Reguläre Sprachen können von endlichen Automaten erkannt werden. Das bedeutet, dass eine endliche Anzahl an Zuständen ausreicht, um ein Wort der Sprache zu akzeptieren. 6.2 Die Chomsky-Normalform für kontextfreie Gramma tiken Sowohl für den Entwurf effizienter Algorithmen für das Wortproblem bei kontext freien Grammatiken als auch für den Beweis eines Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen ist es günstig, kontextfreie Grammatiken in eine Normalform zu bringen.

Damit ist der Beweis des Satzes auf Folie 23.14 abgeschlossen. Die Sprachen vom Typ 3 / 2/ 1 heißen rechtslinear / kontext-frei / kontext-sensitiv, weil sie von rechtslinearen / kontext-freien / kontext-sensitiven Grammatiken erzeugt werden. Abschluss für kontextfreie Sprachen? Bei kontextfreien Sprachen ergibt sich ein anderes Bild: Satz: Wenn L, L1 und L2 kontextfreie Sprachen sind, dann beschreiben auch die fol-genden Ausdrücke kontextfreie Sprachen:

Für das Akzeptieren Kelerautomat mit nur des Startzustands darin einer kontextfreien zwei Zuständen, besteht, das Sprache Und andersherum: Zu jeder Sprache, die von einer kontextfreien Grammatik gene-riert werden kann, kann auch ein Kellerautomat konstruiert werden, der diese Sprache akzeptiert. Au erdem werden wir eine noch starkerer Einschrankung von

Satz Die von einer kontextfreien Grammatik G erzeugte Sprache ist die Menge der durch Linksableitungen in G erzeugbaren W ̈orter. Die erzeugte Sprache ist L1 = {ambmc m | m 1}. Diese kontextsensitive Sprache ist nicht kontextfrei. Also gilt L2 ( L1. Beweis: indirekt Angenommen, L1 wäre kontextfrei. (i) (ii), (iii) und Und die Nichtabgeschlossenheit einer kontextfreien Sprache unter dem Komplement bedeutet nun nichts weiter, als dass die Sprache nicht

Kontextfreie und Regulare Sprachen Theorem: Die Menge der regularen Sprachen ist echt enthalten in der Menge der kontextfreien Sprachen. Anders: Jeder regulare Sprache ist auch kontextfrei, aber nicht jede kontextfreie Sprache ist regular. Betrachte die regulare Sprache L, die von einem DEA M = fK; ; ; s; F g akzeptiert wird. Pumping-Eigenschaft f ̈ur regul ̈are Sprachen, informell: Man kann W ̈orter an einer Stelle aufpumpen und in der Sprache verbleiben (uviw ∈ L f ̈ur alle i ∈ N). Pumping-Lemma f ̈ur regul ̈are Sprachen: Jede regul ̈are Sprache erf ̈ullt die Pumping-Eigenschaft f ̈ur regul ̈are Sprachen. Pumping-Lemma f ̈ur kontextfreie Sprachen: Jede kontextfreie Sprache erf ̈ullt die Pumping

Satz Der Schnitt einer (deterministisch) kontextfreien Sprachen mit einer regul ̈aren Sprache ist (deterministisch) kontextfrei. Aber nicht alle Sprachen kann man mit einer kontextfreien Grammatik erzeugen. Das Standardbeispiele ist a i b i c i, also die Sprache aller Wörter, die aus einer Reihe von a’s bestehen, gefolgt von ebenso vielen b’s, gefolgt von ebenso vielen c’s.